Методика расчета вероятности раскладов

Практически любой игрок в преферанс рано или поздно начинает задаваться вопросами: «Насколько часто может встретиться расклад масти 4-0 у вистующих?», «Выгоднее делать заказ из расчета выбития третьей козырной дамы третьей фоской, или наоборот?», «Больше шанс взять дополнительную взятку на [Т Д 8] или на [К В 9]?» и т.д.

Чтобы ответить на эти вопросы нужно привлечь на помощь математику и научиться, прежде всего, рассчитывать вероятность того или иного расклада.

Так как вероятность можно определить как отношение числа благоприятных (или неблагоприятных для нас) исходов (раскладов) и их общему количеству, то начинать надо с подсчета общего числа раскладов рук вистующих.

Основы комбинаторики. Перестановки, расстановки и сочетания

Итак, допустим, на руке у игрока находятся несколько заранее известных карт. Спрашивается, сколькими способами в различном порядке они могут располагаться? То есть сколькими различными способами они могут прийти ему в руку.

Ответить на этот вопрос проще всего при помощи математической индукции.

Обозначим число различных перестановок n элементов через P_n, тогда добавить еще один (n+1)-й элемент можно (n+1)-м способом — перед самым первым элементом, после него, после второго, ... после последнего. Таким образом, число перестановок (n+1) элементов равно P_n+1 = P_n * (n+1).

Так как пустую руку можно выбрать одним единственным способом, то P₀ = 1. И далее получаем:
P₁ = P₀ * 1 = 1;
P₂ = P₁ * 2 = 1 * 2 = 2;
P₃ = P₂ * 3 = 1 * 2 * 3 = 6;
P₄ = P₃ * 4 = 1 * 2 * 3 * 4= 24.

И в общем случае
P_n = 1 * 2 * 3 * ... * n = n!.

Но число перестановок — не главное, что нас интересует. Гораздо большее значение имеет число сочетаний — сколькими способами можно выбрать подгруппу m элементов из группы n элементов.

Казалось бы, здесь все просто. Первый элемент можно выбрать n способами, второй уже (n-1) способом, третий — (n-2) способами. Последний m-й элемент выбирается из оставшихся (n-m+1) элементов (n-m+1)-м способом. Таким образом, всего получаем

A^m_n = (n-m+1) * (n-m+2) * ... * n = n!/(n-m)!

вариантов получить на руку m карт из n.

Однако, нас будут интересовать не все варианты, а только различные, вне зависимости от того, какой по счету пришла та или иная карта. так как каждый из различных вариантов представлен в виде P_m перестановок, то число различных вариантов равно

C^m_n = A^m_n/P_m = n!/(m!*(n-m)!

Самым полезным свойством этой формулы является:

C^n-m_n =  n!/((n-m)!*(n-n+m)! = n!/(m!*(n-m)! = C^m_n,

что дает возможность упрощения расчетов при m > n/2.

Число сочетаний можно посчитать даже вручную. Для этого надо взять произведение последних m чисел из n и поделить на произведение первых m чисел. В Excel для его расчета существует функция ЧИСЛКОМБ(n;m). Но можно распечатать следующую табличку и всегда иметь ее под рукой:

Общее число раскладов рук вистующих

Расклад рук вистующих полностью определяется тем, какие карты пришли одному из них — второму остались оставшиеся. Если 12 карт вместе с прикупными уже имеются на руках у играющего, то из оставшихся 20 карт на руке первого вистующего находятся 10. Таким образом, общее число вариантов раскладов рук вистующих равно:

C¹⁰₂₀ = 20!/(10!*(20-10)!) = 11*12*13*14*15*16*17*18*19*20 / (1*2*3*4*5*6*7*8*9*10) = 184756.

Запомнить это число не трудно. Оно будет постоянно нам нужно в дальнейшем для расчета вероятностей благоприятных раскладов.

Одномастные распределения. Расчетные и свободные масти

Начнем с самого простого — расчета распределения карт одной масти по рукам вистующих без учета положения конкретных карт.

Для этого введем понятие расчетных и свободных мастей:

Расчетными мастями назовем такие масти, распределение карт в которых интересует нас и должно учитываться для каждой такой масти отдельно.

Свободными мастями назовем масти, распределение карт в которых несущественно или может быть проигнорировано. Все эти масти могут в расчетах фигурировать суммарно как «остальные» масти.

Например, если нас интересует распределение масти 4‑0, без учета особенностей распределения остальных мастей, то эта одна четырехкартная масть будет являться расчетной. Остальные три масти будут свободными и могут рассматриваться как одна 16-картная масть.

Число благоприятных комбинаций определяется как произведение числа сочетаний в руке каждой масти включая свободные.

Искомая вероятность рассчитывается как частное от деления найденного числа благоприятных комбинаций на общее число комбинаций рук вистующих — то есть на 184756.

Для примера рассчитаем вероятность распределения четырехкартной масти 4‑0.

Для этого вначале определим благоприятные расклады. Ими являются:
а) 4 карты этой масти у первого вистующего и 0 карт у второго;
б) 0 карт у первого вистующего и 4 карты у второго.

Для каждого такого расклада составим табличку:

Для получения числа комбинаций для каждого расклада числа сочетаний каждой масти перемножаются.

В сумме получает 8008 + 8008 = 16016 благоприятных раскладов.

Вероятность попадания в 4-0, таким образом, равна:

P_4-0 = 16016/184756 = 8,67%.

Так же легко рассчитать и прочие распределения данной масти: 3‑1 и 2‑2:

Обратите внимание, что расклады 0‑4 и 1‑3 имеют симметричные 4‑0 и 3‑1, а расклад 2‑2 такового не имеет. Симметрия заложена в самом раскладе — каждая масть одинаково распределена между руками. Поэтому дважды учитывать этот расклад не нужно.

Окончательно получаем вероятности раскладов:

P_4-0 = (8008+8008)/184756 = 8,67%;

P_3-1 = (45760+45760)/184756 = 49,54%;

P_2-2 = 77220/184756 = 41,80%.

Вероятности распределения мастей других длин приведем кратко без промежуточных выкладок:

Двухмастные распределения

Рассчитать распределение двух мастей так же просто. Разве что немногим дольше.

В этом случае имеем 2 расчетные и 2 свободные масти. Поэтому придется рассматривать распределение не одной расчетной масти, а каждой. Это приведет к увеличению объема вычислений, но не к их сложности. Единственно, при длинных расчетных мастях придется следить, чтобы их суммарная длина на каждой из рук не превышала 10 карт.

В качестве примера рассмотрим распределение у вистующих двух мастей длинной 5 и 3 карты. Подробный расчет вероятностей распределений этих мастей у вистующих приведен в Приложении 1.

Здесь же с учетом симметричных распределений получаем следующие значения вероятностей:
P^5-0_3-0 = (66+66)/184756= 0,07%;
P^5-0_2-1 = (660+660)/184756 = 0,71%;
P^5-0_1-2 = (1485+1485)/184756 = 1,61%;
P^5-0_0-3 = (792+792)/184756 = 0,86%;
P^4-1_3-0 = (1100+1100)/184756 = 1,19%;
P^4-1_2-1 = (7425+7425)/184756 = 8,04%;
P^4-1_1-2 = (11880+11880)/184756 = 12,86%;
P^4-1_0-3 = (4620+4620)/184756 = 5,00%;
P^3-2_3-0 = (4950+4950)/184756 = 5,36%;
P^3-2_2-1 = (23760+23760)/184756 = 25,72%;
P^3-2_1-2 = (27720+27720)/184756 = 30,01%;
P^3-2_0-3 = (7920+7920)/184756 = 8,57%.

Заметим интересную особенность:

P^5-0_3-0 = 0,07% = P_8-0;
P^5-0_2-1 + P^4-1_3-0 = 0,71% + 1,19% = 1,91% = P_7-1;
P^5-0_1-2 + P^4-1_2-1 + P^3-2_3-0 = 1,61% + 8,04% + 5,36 = 15,00% = P_6-2;
P^5-0_0-3 + P^4-1_1-2 + P^3-2_2-1 + P^3-2_0-3 = 0,86% + 12,86% + 25,72% + 8,57% = 48,01% = P_5-3;
P^4-1_0-3 + P^3-2_1-2 = 5,00 + 30,01% = 35,01% = P_4-4.

И это не является случайностью. Вероятность распределения объединенной масти в заданном отношении между руками равна сумме вероятностей всевозможных распределений данных мастей в данном отношении.

Вычислить вероятности распределения мастей разных длин можно точно так же. Результаты представлены в Приложение 2.

Одномастные распределения с особыми картами

Часто требуется найти вероятность распределения масти между руками с учетом положения некоторых карт в ней. Например, вычислить вероятность бланкового туза или третьей дамы. Назовем такие карты особыми.

Особыми картами назовем такие карты, положение которых в руке по отношению к другим картам этой масти является существенным. Распределение особых карт рассматривается отдельно для каждого случая.

Свободными картами назовем карты, взаимное положение которых по отношению друг к другу несущественно или может быть проигнорировано. Расположение свободных карт учитывается в совокупности.

При расчете числа комбинаций расположение особых карт рассматривается отдельно и в общем числе карт масти они не учитываются. Число комбинаций для каждого расположения особых карт рассчитывается отдельно с учетом только свободных карт.

Для примера рассчитаем вероятность того, что комбинация [Т К В] возьмет 3 взятки из-за того, что у вистующих эта дама окажется бланковой или второй у того или иного вистующего. При этом не учитываем вероятности того, что при чужом ходе одну карту могут купировать на козырь:

В данной таблице n означает общее число свободных карт в масти, а m — число их на конкретной руке.

Получаем вероятность взятия дополнительной третьей взятки:

P³_[ТКВ] = 61590/184756 = 33,28%.

Неплохие шансы но все равно очень маленькие, чтобы на них рассчитывать при заказе игры.

Докажем одно очень полезное свойство:

Если расчетная масть разложилась на руках у вистующих в отношении m₁/m₂, то вероятность прихода в ней одной особой карты на первую руку равно P₁ = m₁ / (m₁+m₂), а на вторую руку P₂ = m₂ / (m₁+m₂).

Доказательство: Всего свободных карт на руках в этой масти равно (m1+m2-1). Число сочетаний карт свободной масти не зависит от положения особой карты в расчетной масти и в обоих случаях одинаково. Если особая карта легла на вторую руку, то общее число сочетаний и вероятность такого расклада пропорциональны Cm1(m1+m2-1), а если на вторую руку, то Cm2(m1+m2-1). Таким образом, вероятность прихода особой карты на первую руку равна:

P1 = Cm1(m1+m2-1)/(Cm1(m1+m2-1)+Cm2(m1+m2-1)) = (m1+m2-1)!:m1!(m2-1)!/((m1+m2-1)!:m1!(m2-1)!+(m1+m2-1)!:m2!(m1-1)!) = m2!(m1-1)!/(m2!(m1-1)!+m1!(m2-1)!) = m2/(m1+m2).

Таким образом, если масть разложилась 4-1, то вероятность нахождения особой карты в четверке будет в 4 раза выше, чем бланковой и будет составлять 80%. Вероятности нахождения этой особой карты при раскладе 3-2 среди тройки в 3/2 раза больше, чем среди пары, и составляет 60%.

Используя это свойство получим вероятность взятия дополнительной взятки на [Т К В] немного более коротким путем.

Вспомним, что расклад пятикартной масти 4‑1 случается в 27,09%. Из них четвертая дама будет встречаться в 4 раза чаще, чем бланковая. То есть вероятность бланковой дамы составляет 27,09% * 0,2 = 5,42%.

Аналогично, в 69,66% случаев эта масть разложится 3‑2. Из них вторая дама будет встречаться в 2-х случаях из 5-ти против 3-х из 5-ти случаев третьей дамы. То есть вероятность второй дамы составляет 69,66% * 0,4 = 27,86%.

Итого получаем суммарную вероятность бланковой или второй дамы:

5,42% + 27,86% = 33,28%.

Этот способ несравненно проще. К сожалению, пользоваться им в случае более сложных раскладов практически невозможно в отличие от табличного.

Рассмотрим руку играющего с картой [Т Д 9]. На эту комбинацию можно получить раскладную вторую взятку в случае бланкового короля, второго короля или [В 10] на одной руке без прикрытия.

Конечно, человек, сведущий в комбинаторике, знает, что, раз число комбинаций из 5 по 2 равно 10, то вероятность выпадения одной единственной пары [В 10] без прикрытия в десять раз меньше вероятности расклада 2‑3. То есть составляет 6,97%. И суммарная вероятность взять вторую взятку с учетом данных, полученных в предыдущем примере, равна:

P = 33,28% + 6,97% = 40,25%.

Но если нужно тщательно перебрать все варианты то рекомендуется использовать простой и надежный, хоть и более громоздкий табличный способ:

P²_[ТД9] = 74360/184756 = 40,25%.

Многомастные распределения с особыми картами

Переходим к самому сложному разделу — расчету вероятностей раскладов двух или трех мастей при наличии особых карт более, чем в одной масти.

Собственно говоря, решение этой задачи сводится к такому же перебору благоприятных вариантов, вычислению числа комбинаций для каждого варианта и определению их общего количества. Только вот вариантов раскладов может быть не единицы, а несколько десятков, а то и сотен. И это только при расчете собственно расклада по определенным требованиям, а не конкретной сдачи, в которой могут встретиться разные неучтенные особенности, например, купирование первым ходом бланкового туза или "вертолет" двух сильных систем.

Все это может значительно усложнить саму постановку задачи, То есть определение, какие варианты являются благоприятными, но не расчет их. Он по прежнему сводится к определению числа сочетаний и общего количества комбинаций.

В качестве примера рассмотрим такую первую руку играющего:
Т К Д; Т К Д; Т Д (7); Т Д (7).

Ясно, что заказывать следует 8БК, но при этом существует возможность взять дополнительно девятую взятку в случае, если один из красных королей отпал бланковым, либо оба короля находятся на одной руке (сквиз со впусткой). Так же возможен вариант сквиза со впусткой, если на левой руке находится точно второй король в одной из расчетной мастей, 2-3 фоски во второй и не более, чем по 3 карты в каждой из свободных мастей. В этом случае элиминация свободных мастей и впустка под второго короля приведет к импасу короля в другой масти на правой руке. Если же оба короля окажутся бланковыми, то можно будет получить 2 дополнительные взятки — сыграть игру без вистов.

Подробная таблица расчета вариантов раскладов приведена в Приложении 3. Здесь же приведем уже ее результаты:

Как видим, вероятность взять при данной руке дополнительно 1 или 2 взятки превышает 57%.

Данный анализ не учитывает влияние отсутствия торговли или отсутствия заказа мизера. Но на самом деле торговля возможна при сосредоточении обоих красных мастей в одной руке, а мизер — обоих черных. Вероятность этого настолько мала, что отсутствие таких заказов изменяет результирующие вероятности всего примерно на сотую долю процента.

С другой стороны, если на второй/третьей руке была торговля до красных мастей, то это повышает вероятность нахождения на этой руке обоих красных лонгеров с королями. Шансы взять девятую взятку при этом только повышаются.

Искусственный прием. Отнесение несущественных карт расчетных мастей к свободным мастям

Метод табличного перебора хорош тем, что позволяет почти не задумываясь автоматически рассмотреть все возможные варианты и рассчитать без особых затрат умственной энергии. Вместе с тем, количество рассматриваемых вариантов даже в не очень сложных случаях может катастрофически возрастать. Поэтому вполне объяснимо желание произвести укрупнение и каким-то образом объединить сходные варианты в один расчетный.

Вернемся к рассматриваемому примеру. Обратите внимание, что если оба короля находятся на одной руке, то перебирать все варианты распределения свободных карт в расчетных и свободных мастях не обязательно. Результатом всегда будет взятие 9-ти взяток, за исключением случаев, когда оба короля бланковые. Таким образом, практически при любом распределении свободных карт получаем один и тот же результат. Это дает возможность отнести свободные карты расчетных мастей также к свободным мастям. Отдельно нужно рассмотреть только случай двух бланковых королей, дающий 10 взяток.

Так же, учитывая полную симметрию, достаточно рассмотреть только расположение королей у одного из вистующих, а потом умножить получившееся число комбинаций на 2, чтобы учесть так же их расположение у второго вистующего.

Получаем, что в случае расположения обоих королей на одной руке имеем:
45 * 2 = 90 комбинаций, приводящих к взятию 10 взяток;
(43758 - 45) * 2 = 87426 комбинаций, приводящих к взятию 9 взяток.

Как видим, почти половину рассмотренных вариантов (ровно 50 штук) нам удалось свести к расчету двух вариантов — 2 бланковых короля на одной руке и 2 любых короля на одной руке.

Рассмотрим теперь расположение королей на разных руках. При этом нужно учесть, что существует 4 симметричных варианта бланковых королей (с точностью до масти и руки) и при расчете каждого из них в него так же попадает вариант двух бланковых королей. А всего основных вариантов одного или двух бланковых королей на разных руках два (с точностью до мастей):

Получаем, что в случае расположения обоих королей на разных руках имеем:
252 * 2 = 504 комбинаций, приводящих к взятию 10 взяток;
(2002 - 252) * 4 = 7000 комбинаций, приводящих к взятию 9 взяток.

Расположение обоих прикрытых королей на разных руках дает нам 8 взяток за исключением случаев стрипсквиза с впусткой на левую руку под одного из королей с тем, чтобы был импасирован король в другой масти на правой руке. Таких случаев 3 с точностью до симметрии мастей:

Имеем дополнительно (1600 + 1600 + 2400) * 2 = 11200 комбинаций, приводящих к взятию 9 взяток.

Итого получаем:
90 + 504 = 594 комбинаций, приводящих к взятию 10 взяток (0,32%);
87426 + 7000 + 11200 = 105626 комбинаций, приводящих к взятию 9 взяток (57,17%);
184756 - 594 - 105626 = 78536 комбинаций, приводящих к взятию 8 взяток (42,51%).

Таким образом, при помощи нехитрого приема и логических заключений удалось свести расчет раскладов с более чем сотни вариантов до семи. Нужно только аккуратно отслеживать, в каких случаях могут возникнуть дублирующие (уже вошедшие в другие варианты) комбинации. Число рассматриваемых вариантов при этом может сократиться в десятки раз.

Практическое применение расчета вероятностей. Выбор сноса

Рассмотрим слегка измененную руку из предыдущего примера:
Т К Д; Т К Д; Т Д (10/9/8/7); Т Д (7).

При каких значениях бубновой фоски выгоднее оставить в бубне [Т Д х], а при каких лучше снести бубновую и червовую фоски?

Прежде всего отметим, что при [Т Д 10] девятая взятка получается классически выполнением сквиза с последующей одномастной впусткой. Поэтому, при наличии бубновой десятки ее следует оставлять и сносить две червы.

Для остальных значений фосок придется производить расчет.

Начнем с комбинации [Т Д 7] в бубне.

Девятую взятку можно будет взять в случае бланкового или второго короля, а так же если на одной руке находятся три или более старших карт этой масти — в этом случае все равно удается сделать впустку семеркой на нужную руку.

Подробный расчет этой комбинации приведен в Приложении 4. Вот краткие результаты:

Как видно, вероятность взять дополнительную взятку на комбинацию [Т Д 7] менее 49%, что явно проигрывает 57% с лишним в случае оставления двух [Т Д].

При замене 7 на 8 добавляется возможность взять дополнительную взятку при бланковой девятке. Если вистующие пронесут валета (десятку), то последует впустка дамой. А если пронесут семерку, то возникнет ситуация "три старших в руке" и возможна впустка как дамой, так и восьмеркой. Таким образом число благоприятных комбинаций увеличивается на 10010, а вероятность на 5,42% и составит теперь 54,33%. Это все равно меньше 57%, хоть и не намного.

Но возьмем комбинацию [Т Д 9]. Теперь дополнительно может сыграть девятка при [В 10] вистующих без прикрытия. А так же при распределении расчетной масти 4-1 впустка дамой возможна так же при бланковом валете или десятке, а не только младшей карте. Все это дает неплохую прибавку вероятности:

Как видим, замена семерки (восьмерки) на девятку дало значительный прирост вероятности взятия дополнительной взятки. Теперь она существенно превышает вероятность 57% при оставлении двух [Т Д].

Таким образом, можно сделать вывод, что при данной руке, если под дамами находятся две фоски не старше восьмерки, то сносить следует их, оставляя 2 комбинации [Т Д].

Но если в одной или обеих мастях имеется девятка или десятка, то следует оставлять старшую из этих фосок, снося [Д х] в другой масти.

Но эти рекомендации даны только на основе знания о вероятностях распределений карт на руках. Игрок же, учитывая манеру вистования оппонентов, торговлю, карты в прикупе и другие игровые факторы, может чаще принимать решение о сносе двух разномастных фосок.

• Приложение 1. Пример расчета двухмастного распределения (5+3)
• Приложение 2. Таблицы двухмастных распределений
• Приложение 3. Расчет комбинаций вистующих при руке играющего ТКД; ТКД; ТД(7); ТД(7)
• Приложение 4. Расчет отдельных комбинаций вистующих
• Приложение 5. Форма для расчета вероятностей распределения карт

18.09.2010

Комментарии:

Комментарии могут добавлять только зарегистрированные пользователи.